Інтеграл – Це одне з основних понять математичного аналізу, яке дозволяє обчислити площу фігури, довжину кривої або загальний накопичений обсяг величини. Однак, не всі функції можуть бути інтегровані в межах деякого інтервалу. Інтеграл може розходитися у деяких випадках, коли не виконуються певні умови.
Існує кілька основних причин, через які інтеграл може виявитися розбіжним. По-перше, інтеграл може розходитися, якщо функція має нескінченні значення на розглянутому інтервалі. Наприклад, якщо функція має вертикальні прямі асимптоти або розриви в точках інтегрування, інтеграл може мати кінцевого значення і розходитися.
Крім того, інтеграл може розходитися, якщо функція не задовольняє умову інтегрованості. Якщо функція має необмежене зростання або надто сильно осцилює на розглянутому інтервалі, то інтеграл може бути невласним і розходитися. Наприклад, таке може статися, якщо функція має нескінченну кількість осциляцій або занадто швидке зростання.
Загалом розбіжність інтеграла означає, що неможливо обчислити кінцеве значення цього інтеграла. Це може бути викликано порушенням умов інтегрованості або необмеженим зростанням функції на розглянутому інтервалі. Знання умов розбіжності інтеграла дозволяє більш точно аналізувати функції та розуміти їх масштаби та властивості.
| Випадок | Умова | Результат |
|---|---|---|
| 1 | Інтеграл містить нескінченності чи невизначеності в межах інтегрування | Інтеграл розходиться |
| 2 | Інтеграл не сходиться по абсолютній величині і не сходиться умовно | Інтеграл розходиться |
| 3 | Інтеграл має нескінченну кількість розривів у межах інтегрування | Інтеграл розходиться |
| 4 | Інтеграл має нескінченну амплітуду в межах інтегрування | Інтеграл розходиться |
| 5 | Інтеграл має особливості (усувні або непереборні) в межах інтегрування | Інтеграл розходиться |
Якщо існує межа, то інтеграли одночасно сходяться або одночасно розходяться. то інтеграл також розходиться.
Коли інтеграл розходиться?
Якщо межа у правій частині існує, то невласна інтеграл сходиться. Якщо ж зазначена межа не існує або нескінченна, то кажуть, що інтеграл розходиться. В цьому випадку інтеграл зліва називають схожим, якщо обидва невласних інтеграла, що стоять праворуч, сходяться.
Що таке розбіжний інтеграл?
Розбіжні інтеграли, інтеграли з нескінченними межами, а також з необмеженою підінтегральною функцією, рівні нескінченності або не мають певного кінцевого значення. Наприклад, інтеграл , який визначається як , розходиться, оскільки , а інтеграл розходиться, оскільки немає.
Як визначити сходиться інтеграл чи ні?
Якщо існує кінцева межа f(x)dx, то невласний інтеграл f(x)dx називається схожима якщо ця межа не існує, то – розбіжним. Якщо невласний інтеграл сходиться, кажуть також, що він існує, а якщо розходиться, то не існує.